অষ্টম শ্রেণি - সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৬.১ সরল সহ-সমীকরণ

(ক) প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর (১-১২):

১.

x+y=4

x-y=2

সমাধানঃ

x+y=4………(i)

x-y=2………..(ii)

(ii) হতে পাই,

x=2+y…….(iii)

এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

2+y+y=4

বা, 2+2y=4

বা, 2(1+y)=4

বা, 1+y=4/2

বা, 1+y=2

বা, y=2-1

বা, y=1

এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x=2+1

বা, x=3

∴ (x,y)=(3,1)

২.

2x+y=5

x-y=1

সমাধানঃ

2x+y=5…….(i)

x-y=1…….(ii)

(ii) হতে পাই,

x=1+y…….(iii)

এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

2(1+y)+y=5

বা, 2+2y+y=5

বা, 2+3y=5

বা, 3y=5-2

বা, 3y=3

বা, y=3/3

বা, y=1

এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x=1+1

বা, x=2

∴ (x,y)=(2,1)

৩.

3x+2y=10

x-y=0

সমাধানঃ

3x+2y=10……(i)

x-y=0……….(ii)

(ii) হতে পাই,

x=y…….(iii)

এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই

3y+2y=10

বা, 5y=10

বা, y=10/5

বা, y=2

এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x=2

∴ (x,y)=(2,2)

৪.

সমাধানঃ

…..(i)

…..(ii)

(ii) হতে পাই,

…..(iii)

এখন,

এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

বা,

---

বা,

2y=2

বা,

y=2/2

বা,

y=1

এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

বা,

x=1

∴ (x,y)=(1,1)

৫.

3x-2y=0

17x-7y=13

সমাধানঃ

3x-2y=0…………(i)

17x-7y=13……….(ii)

(ii) হতে পাই,

17x=13+7y

13+7y

বা, x=------------…….(iii)

এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই

13+7y

3✕------------ - 2y=0

3(13+7y)-17.2y

বা, ----------------------- = 0

বা, 39+21y-34y=0

বা, 39-13y=0

বা, -13y=-39

বা, 13y=39

বা, y=39/13

বা, y=3

এখন y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই

3x-2.3=0

বা, 3x-6=0

বা, 3x=6

বা, x=6/3

বা, x=2

∴ (x,y)=(2,3)

৬.

x-y=2a

ax+by=a²+b²

সমাধানঃ

x-y=2a……………..(i)

ax+by=a²+b²…………(ii)

(i) হতে পাই,

x=2a+y…….(iii)

এখন, x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

a(2a+y)+by=a²+b²

বা, 2a²+ay+by-a²-b²=0

বা, a²-b²+ay+by=0

বা, ay+by=b²-a²

বা, y(a+b)=(b-a)(b+a)

বা, y=b-a

এখন y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই

x-(b-a)=2a

বা, x=2a+b-a

বা, x=a+b

∴ (x,y)=(a+b, b-a)

৭.

ax+by=ab

bx+ay=ab

সমাধানঃ

ax+by=ab…….(i)

bx+ay=ab……..(ii)

(i), (ii) হতে পাই,

ax+by=bx+ay

বা, ax-bx=ay-by

বা, x(a-b)=y(a-b)

বা, x=y……………..(iii)

এখন x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

ay+by=ab

বা, y(a+b)=ab

বা, y=-----------

a+b

এখন, x=y

∴ (x,y)

(

--------,

a+b

--------

a+b

)

৮.

ax-by=ab

bx-ay=ab

সমাধানঃ

ax-by=ab………(i)

bx-ay=ab……….(ii)

(i), (ii) হতে পাই,

ax-by= bx-ay

বা, ax-bx=-ay+by

বা, x(a-b)=-y(a-b)

বা, x=-y……….(iii)

এখন x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

a(-y)-by=ab

বা, -ay-by=ab

বা, -y(a+b)=ab

বা, y(a+b)=-ab

-ab

বা, y=-----------

a+b

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x =-----------

a+b

∴ (x,y)

(

--------,

a+b

-ab

--------

a+b

)

৯.

ax-by=a-b

ax+by=a+b

সমাধানঃ

ax-by=a-b…………(i)

ax+by=a+b……….(ii)

(i) হতে পাই,

ax=a-b-by

a-b-by

বা, x=--------------……(iii)

এখন x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

a-b+by

a.-------------+by=a+b

বা, a-b+by+by=a+b

বা, 2by=a+b-a+b

বা, 2by=2b

বা, 2y=2

বা, y=2/2

বা, y=1

এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

a-b-b.1

x=--------------

বা, ax=a-b-b

বা, ax=a

বা, x=a/a

বা, x=1

∴ (x,y)=(1, 1)

১০.

সমাধানঃ

…..(i)

…..(ii)

(ii) হতে পাই,

……..(iii)

এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

বা,

1+1

------

5-1

------

বা,

4y=12

বা,

y=12/4

বা,

y=3

এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

বা,

2+1

---------

বা,

3x=6

বা,

x=6/3

বা,

X=2

∴ (x,y)=(2, 3)

১১.

সমাধানঃ

……..(i)

…….(ii)

(i) হতে পক্ষান্তর করে পাই,

বা,

x-2

-------

1-y

-------

বা,

a(1-y)=b(x-2)

বা,

a-ay=bx-2b

বা,

-bx=-2b-a+ay

বা,

bx=2b+a-ay

বা,

2b+a-ay

-------------……(iii)

বা,

2b+a-ay

-------------

b²

এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

2b+a-ay

------------------

b²

বা,

2b+a-ay

-----------

b²

বা,

2b+a-ay

-------------

b²

2a-b+by

--------------

বা,

2b+a-ay

-------------

2a-b+by

--------------

বা,

b(2a-b+by)=a(2b+a-ay)

বা,

2ab-b²+b²y=2ab+a²-a²y

বা,

b²y+a²y=2ab+a²-2ab+b²

বা,

y(b²+a²)=a²+b²

বা,

y=1

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

2b+a-a.1

------------

বা,

2b+a-a

------------

বা,

--------

বা,

x=2

∴ (x,y)=(2, 1)

১২.

সমাধানঃ

…….(i)

…...(ii)

(ii) নং হতে পাই,

…….(iii)

এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

বা,

b+b

--------

b+b

--------

বা,

-------

------

বা,

y=3

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

বা,

x=2

∴ (x,y)=(2, 3)

(খ) অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর (১৩-২৬):

১৩.

x-y=4

x+y=6

সমাধানঃ

x-y=4………(i)

x+y=6………..(ii)

----------------------------

2x =10 (+ করে)

বা, x=10/2

বা, x=5

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

5-y=4

বা, -y=4-5

বা, -y=-1

বা, y=1

∴ (x,y)=(5,1)

১৪.

2x+3y=7

6x-7y=5

সমাধানঃ

2x+3y=7………..(i)

6x-7y=5…………(ii)

(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,

6x+9y=21………..(iii)

6x-7y=5…………(iv)

-------------------------------

16y=16 (- করে)

বা, y=16/16

বা, y=1

y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

2x+3.1=7

বা, 2x+3=7

বা, 2x=7-3

বা, 2x=4

বা, x=4/2

বা, x=2

∴ (x,y)=(2,1)

১৫.

4x+3y=15

5x+4y=19

সমাধানঃ

4x+3y=15………..(i)

5x+4y=19…………(ii)

(i) নং কে 4 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

16x+12y=60

15x+12y=57

---------------------------

x = 3 (- করে)

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

4.3+3y=15

বা, 12+3y=15

বা, 3y=15-12

বা, 3y=3

বা, y=3/3

বা, y=1

∴ (x,y)=(3,1)

১৬.

3x-2y=5

2x+3y=12

সমাধানঃ

3x-2y=5……………..(i)

2x+3y=12……………..(ii)

(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

9x-6y=15

4x+6y=24

-------------------------

13x=39 (+ করে)

বা, x=39/13

বা, x=3

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

3.3-2y=5

বা, 9-2y=5

বা, -2y=5-9

বা, -2y=-4

বা, 2y=4

বা, y=4/2

বা, y=2

∴ (x,y)=(3,2)

১৭.

4x-3y=-1

3x-2y=0

সমাধানঃ

4x-3y=-1…………..(i)

3x-2y=0……………….(ii)

(i) নং কে 2 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

8x-6y=-2

9x-6y=0

----------------------

-x=-2 (- করে)

বা, x=2

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

4.2-3y=-1

বা, 8-3y=-1

বা, -3y=-1-8

বা, -3y=-9

বা, 3y=9

বা, y=9/3

বা, y=3

∴ (x,y)=(2,3)

১৮.

3x-5y=-9

5x-3y=1

সমাধানঃ

3x-5y=-9……….(i)

5x-3y=1………..(ii)

(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 5 দ্বারা গুণ করে পাই,

9x-15y=-27

25x-15y=5

---------------------------

-16x=-32 (- করে)

বা, 16x=32

বা, x=32/16

বা, x=2

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

3.2-5y=-9

বা, 6-5y=-9

বা, -5y=-9-6

বা, -5y=-15

বা, 5y=15

বা, y=15/5

বা, y=3

∴ (x,y)=(2,3)

১৯.

সমাধানঃ

বা,

x+y

-------

বা,

x+y=6………….(i)

বা,

x-y

--------

বা,

x-y=2………....(ii)

(i)+(ii) করে পাই,

2x=8

বা, x=8/2

বা, x=4

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

4+y=6

বা, y=6-4

বা, y=2

∴ (x,y)=(4,2)

২০.

x+ay=b

ax-by=c

সমাধানঃ

x+ay=b………..(i)

ax-by=c………..(ii)

(i) নং কে a দ্বারা ও (ii) নং কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,

ax+a²y=ab

ax-by=c

---------------------------------

a²y+by=ab-c (- করে)

বা, y(a²+b)=ab-c

ab-c

বা, y=-------------

a²+b

y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

ab-c

x+a------------= b

a²+b

x(a²+b)+a(ab-c)

বা, --------------------------- = b

a²+b

বা, x(a²+b)+a(ab-c)=b(a²+b)

বা, x(a²+b)= b(a²+b)- a(ab-c)

বা, x(a²+b)= ba²+b²-a²b+ac

বা, x(a²+b)= b²+ac

b²+ac

বা, x=-----------

a²+b

∴ (x,y)=

(

b²+ac

---------,

a²+b

ab-c

----------

a²+b

)

২১.	x - 2	+	y - 3	=	3
	x	-	y - 3	=	3
সমাধানঃ
	x - 2	+	y - 3	=	3	…..(i)
	x	-	y - 3	=	3	…….(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
	x - 2	+	x	=	6
বা,	x+2x --------- 2			=	6
বা,	x+2x=12
	3x=12
	x=12/3
	x=4
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
	4 - 2	+	y - 3	=	3
বা,	12+2y ---------- 6			=	3
বা,	12+2y=18
বা,	2y=18-12
বা,	2y=6
বা,	y=6/3
বা,	y=3
∴ (x,y)=(4,3)

মন্তব্য করতে লগইন করুন লগইন করুন

মন্তব্য - (0) টি

আপাতত কোন মন্তব্য নেই, আপনিই প্রথম মন্তব্যকারী হবেন..

আগের পোস্ট

অষ্টম শ্রেণি - সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১১ তথ্য ও উপাত্ত

পরের পোস্ট

অষ্টম শ্রেণি - গনিত সমাধান - অধ্যায় ৫.১ (বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের লগিষ্টকরন যোগ ও বিয়োগ)

উক্ত পোস্টটি করেছেন -

ব্যাক্তিগত তথ্য-

২২.	x - 3	+	2 - y	=	1
	x - 4	-	3 - y	=	3
সমাধানঃ
	x - 3	+	2 - y	=	1	…..(i)
	x - 4	-	3 - y	=	3	……(ii)
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
	x	+	6 - y	=	3
	x - 2	-	6 - y	=	6
----------------------------------------------