অষ্টম শ্রেণি - গনিত সমাধান - অধ্যায় ৫.১ (বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের লগিষ্টকরন যোগ ও বিয়োগ)
১. লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করঃ
4x2y3z5
(ক) -------------
9x5y2z3
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
4x2y3z5
= ------------
9x5y2z3
এখানে,
4 ও 9 এর গসাগু 1
x2 ও x5 এর গসাগু x2
y3 ও y2 এর গসাগু y2
z5 ও z3 এর গসাগু z3
∴ 4x2y3z5 ও 9x5y2z3 এর গসাগু x2y2z3
প্রদত্ত সমীকরণ এর লব ও হরকে x2y2z3 দ্বারা ভাগ করে পাই
4yz2
-----
9x3
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ আকার হলো
4yz2
-----
9x3
16(2x)4(3y)5
(খ) ------------------
(3x)3.(2y)6
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
16(2x)4(3y)5
= ----------------
(3x)3.(2y)6
24✕24✕x4✕35y5
= ---------------------
33x3.26y6
2835x4y5
=------------
2633x3y6
এখানে,
28 ও 26 এর গসাগু হলো 26
35 ও 33 এর গসাগু হলো 33
X4 ও x3 এর গসাগু হলো x3
Y5 ও y6 এর গসাগু হলো y5
∴16(2x)4(3y)5 ও (3x)3(2y)6 এর গসাগু হলো 2633x2y3
এখন প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব আর হরকে 2633x2y3 দ্বারা ভাগ করে পাই,
22.32..x
--------
y
4.9.x
=------
y
36x
=------
y
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ আকার হলো
36x
------
y
x3y+xy3
(গ) ---------------
x2y3+x3y2
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
x3y+xy3
= ---------------
x2y3+x3y2
ভগ্নাংশের লব
= x3y+xy3
=xy(x2+y2)
ভগ্নাংশের হর
= x2y3+x3y2
=x2y2(x+y)
লব আর হরের গসাগু = xy
এখন প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে xy দ্বারা ভাগ করে পাই,
(x2+y2)
----------
xy(x+y)
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ আকার হলো
(x2+y2)
----------
xy(x+y)
(a-b)(a+b)
(ঘ) ---------------
a3-b3
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
(a-b)(a+b)
= --------------
a3-b3
(a-b)(a+b)
= --------------------
(a-b)(a2+ab+b2)
∴ লব আর হরের গসাগু = (a-b)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (a-b) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(a+b)
------------
a2+ab+b2
যা হলো প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
x2-6x+5
(ঙ) -------------
x2-25
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
x2-6x+5
= ------------
x2-25
x2-5x-x+5
= -------------
x2-52
x(x-5)-1(x-5)
= -----------------
(x-5)(x+5)
(x-5)(x-1)
= ---------------
(x-5)(x+5)
∴ লব এবং হরের গসাগু =(x-5)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x-5) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(x-1)
------
(x+5)
যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
x2-7x+12
(চ) --------------
x2-9x+20
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব
x2-7x+12
= x2-3x-4x+12
=x(x-3)-4(x-3)
=(x-3)(x-4)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর
= x2-9x+20
= x2-4x-5x+20
=x(x-4)-5(x-4)
=(x-5)(x-4)
∴ লব এবং হরের গসাগু =(x-4)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x-4) দ্বারা ভাগ করে পাই,
x-3
------
x-5
যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
(x3-y3)(x2-xy+y2)
(ছ) ---------------------
(x2-y2)(x3+y3)
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব
=(x3-y3)(x2-xy+y2)
=(x-y)(x2-xy+y2)(x2-xy+y2)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর
=(x2-y2)(x3+y3)
=(x+y)(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)
∴ লব এবং হরের গসাগু =(x-y)(x2-xy+y2)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x-y)(x2-xy+y2) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(x2—xy+y2)
------------
(x+y)2
যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
a2-b2-2bc-c2
(জ) ------------------
a2+2ab+b2-c2
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব
= a2-b2-2bc-c2
=a2-(b2+2bc+c2)
=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর
= a2+2ab+b2-c2
=(a+b)2-c2
=(a+b+c)(a+b-c)
∴ লব এবং হরের গসাগু =(a+b+c)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (a+b+c) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(a-b-c)
-----------
(a+b-c)
যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
২. সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ
(ক)
x2
---
xy
y2
---
yz
z2
---
zx
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশের হরগুলোর লসাগু = xyz
xyz/xy=z
x2
∴ ---
xy
x2✕z
= -------
xy✕z
x2z
= -------
xyz
xyx÷yz=x
y2
∴----
yz
y2✕x
=-------
yz✕x
xy2
=-------
xyz
xyx÷zx=y
z2
∴-----
zx
z2✕y
=--------
zx✕y
z2y
=-----
xyz
∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো
x2z
-----,
xyz
xy2
------- এবং
xyz
z2y
-----
xyz
(খ)
x-y
----
xy
y-z
----
yz
z-x
----
zx
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = xyz
তাহলে,
x-y
----
xy
(x-y)z
=--------
xyz
xz-yz
=--------
xyz
y-z
----
yz
(y-z)x
=--------
xyz
xy-xz
=---------
xyz
z-x
----
zx
(z-x)y
=---------
xyz
yz-xy
=---------
Xyz
∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
xz-yz
--------,
xyz
xy-xz
--------- এবং
xyz
yz-xy
---------
xyz
(গ)
x
-----
x-y
y
-----
x+y
z
--------
x(x+y)
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = x(x+y)(x-y)
তাহলে,
x
-----
x-y
x.x(x+y)
=--------------
(x-y).x(x+y)
x2(x+y)
=-----------
x(x2-y2)
y
-----
x+y
y.x(x-y)
=---------------
(x+y).x(x-y)
xy(x-y)
=------------
x(x2-y2)
z
--------
x(x+y)
z(x-y)
=--------------
x(x+y)(x-y)
z(x-y)
=------------
x(x2-y2)
∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
x2(x+y)
-----------,
x(x2-y2)
xy(x-y)
---------- এবং
x(x2-y2)
z(x-y)
------------
x(x2-y2)
(ঘ)
x+y
-------
(x-y)2
x-y
-------
x3+y3
y-z
-------
x2-y2
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর
১ম ভগ্নাংশের হর
=(x-y)2
=(x-y)(x-y)
২য় ভগ্নাংশের হর
=x3+y3
=(x+y)(x2-xy+y2)
৩য় ভগ্নাংশের হর
=x2-y2
=(x-y)(x+y)
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু
= (x-y)(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)
=(x-y)2(x3+y3)
তাহলে,
x+y
-------
(x-y)2
(x+y) (x3+y3)
=----------------
(x-y)2(x3+y3)
x-y
-------
x3+y3
(x-y) (x-y)2
=-----------------
(x3+y3) (x-y)2
(x-y)3
=----------------
(x3+y3) (x-y)2
y-z
-----
x2-y2
y-z
=-------------
(x-y)(x+y)
(y-z) (x-y)(x2-xy+y2)
=----------------------------
(x-y)(x+y)(x-y)(x2-xy+y2)
(y-z) (x-y)(x2-xy+y2)
=-------------------------
(x-y)2(x3+y3)
∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
(x+y) (x3+y3)
----------------,
(x-y)2(x3+y3)
(x-y)3
---------------- এবং
(x3+y3) (x-y)2
(y-z) (x-y)(x2-xy+y2)
------------------------
(x-y)2(x3+y3)
(ঙ)
a
------
a3+b3
b
------------
a2+ab+b2
c
-------
a3-b3
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর
১ম ভগ্নাংশের হর
=a3+b3
=(a+b)(a2-ab+b2)
২য় ভগ্নাংশের হর
= a2+ab+b2
৩য় ভগ্নাংশের হর
= a3-b3
=(a-b)(a2+ab+b2)
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু
= (a-b)(a+b)(a2-ab+b2)(a2+ab+b2)
= (a3-b3)(a3+b3)
তাহলে,
a
------
a3+b3
a(a3-b3)
=-----------------
(a3+b3) (a3-b3)
a(a3-b3)
=------------
(a6-b6)
b
------------
a2+ab+b2
b(a-b)(a+b)(a2-ab+b2)
=-------------------------------------
(a2+ab+b2) (a-b)(a+b)(a2-ab+b2)
b(a-b)(a3+b3)
=-------------------
(a3+b3) (a3-b3)
b(a-b)(a3+b3)
=-----------------
(a6-b6)
c
-------
a3-b3
c(a3+b3)
=------------------
(a3-b3) (a3+b3)
c(a3+b3)
=-------------
(a6-b6)
∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
a(a3-b3)
------------,
(a6-b6)
b(a-b)(a3+b3)
----------------- এবং
(a6-b6)
c(a3+b3)
-------------
(a6-b6)
(চ)
1
----------
x2-5x+6
1
----------
x2-7x+12
1
----------
x2-9x+20
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে
১ম ভগ্নাংশের হর
= x2-5x+6
=x2-2x-3x+6
=x(x-2)-3(x-2)
=(x-2)(x-3)
২য় ভগ্নাংশের হর
= x2-7x+12
= x2-3x-4x+12
=x(x-3)-4(x-3)
=(x-3)(x-4)
৩য় ভগ্নাংশের হর
= x2-9x+20
= x2-4x-5x+20
=x(x-4)-5(x-4)
=(x-5)(x-4)
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
1
----------
x2-5x+6
1
=----------
(x-2)(x-3)
(x-4)(x-5)
=---------------------
(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
1
----------
x2-7x+12
1
=------------
(x-3)(x-4)
(x-2)(x-5)
=-----------------------
(x-3)(x-4)(x-2)(x-5)
1
----------
x2-9x+20
1
=-----------
(x-4)(x-5)
(x-2)(x-3)
=----------------------
(x-4)(x-5)(x-2)(x-3)
∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
(x-4)(x-5)
--------------------,
(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
(x-2)(x-5)
----------------------- এবং
(x-3)(x-4)(x-2)(x-5)
(x-2)(x-3)
----------------------
(x-4)(x-5)(x-2)(x-3)
(ছ)
a-b
-----
a2b2
b-c
-----
b2c2
c-a
-----
c2a2
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = a2b2c2
তাহলে,
a-b
-----
a2b2
c2(a-b)
=---------
a2b2c2
b-c
-----
b2c2
a2(b-c)
=---------
a2b2c2
c-a
-----
c2a2
b2(c-a)
=---------
b2c2a2
∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
c2(a-b)
---------,
a2b2c2
a2(b-c)
--------- এবং
a2b2c2
b2(c-a)
---------
b2c2a2
(জ)
x-y
-----
x+y
y-z
-----
y+z
z-x
----
z+x
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = (x+y)(y+z)(z+x)
তাহলে,
x-y
-----
x+y
(x-y)(y+z)(z+x)
=--------------------
(x+y)(y+z)(z+x)
y-z
-----
y+z
(y-z)(x+y)(z+x)
=-------------------
(y+z)(x+y)(z+x)
z-x
----
z+x
(z-x)(x+y)(y+z)
=------------------
(z+x)(x+y)(y+z)
∴ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
(x-y)(y+z)(z+x)
-------------------,
(x+y)(y+z)(z+x)
(y-z)(x+y)(z+x)
------------------- এবং
(y+z)(x+y)(z+x)
(z-x)(x+y)(y+z)
------------------
(z+x)(x+y)(y+z)
৩. যোগফল নির্ণয় করঃ
a-b a+b
(ক) ------ + -------
a b
সমাধানঃ
a-b a+b
------ + -------
a b
b(a-b)+a(a+b)
=-------------------
ab
ab-b2+a2+ab
=------------------
ab
a2+2ab-b2
=--------------
ab
a b c
(খ)-----+-----+-----
bc ca ab
সমাধানঃ
a b c
----+-----+-----
bc ca ab
a2+b2+c2
=--------------
abc
x-y y-z z-x
(গ) -----+-----+-----
x y z
সমাধানঃ
x-y y-z z-x
-----+-----+-----
x y z
yz(x-y)+zx(y-z)+xy(z-x)
=--------------------------
xyz
xyz-zy2+xyz-xz2+xyz-x2y
=----------------------------
xyz
3xyz-x2y-y2z-z2x
=--------------------
xyz
x+y x-y
(ঘ) ------- + -------
x-y x+y
সমাধানঃ
x+y x-y
------- + -------
x-y x+y
(x+y)2+(x-y)2
=---------------
(x-y)(x+y)
x2+2xy+y2+x2-2xy+y2
=--------------------------
x2-y2
2x2+2y2
=----------
x2-y2
2(x2+y2)
=----------
x2-y2
1 1 1
(ঙ) ----------+ ---------- +----------
x2-3x+2 x2-4x+3 x2-5x+4
সমাধানঃ
X2-3x+2
=x2-2x-x+2
=x(x-2)-1(x-2)
=(x-1)(x-2)
x2-4x+3
=x2-3x-x+3
=x(x-3)-1(x-3)
=(x-3)(x-1)
এবং,
x2-5x+4
= x2-4x-x+4
=x(x-4)-1(x-4)
=(x-1)(x-4)
তাহলে,
1 1 1
----------+ ---------- +----------
x2-3x+2 x2-4x+3 x2-5x+4
1 1 1
=------------+ ------------ +----------
(x-1)(x-2) (x-3)(x-1) (x-4)(x-1)
1.(x-3)(x-4)+1.(x-2)(x-4)+1.(x-3)(x-2)
=-----------------------------------------
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
x2-7x+12+x2-6x+8+x2-5x+6
=---------------------------------
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
3x2-18x+26
=--------------------
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
1 1 1
(চ)--------+------------+------------
a2-b2 a2+ab+b2 a2-ab+b2
সমাধানঃ
1 1 1
--------+------------+------------
a2-b2 a2+ab+b2 a2-ab+b2
(a2+ab+b2)( a2-ab+b2)+( a2-b2)( a2-ab+b2)
+( a2-b2)( a2-ab+b2)
=------------------------------------------
(a2-b2)( a2+ab+b2)( a2-ab+b2)
a4-a3b+a2b2+a3b-a2b2+ab3+a2b2-ab3+b4
+(a-b)(a+b) ( a2-ab+b2)+(a-b)(a+b) ( a2-ab+b2)
=--------------------------------------------------
(a-b)(a+b) ( a2+ab+b2)( a2-ab+b2)
a4+a2b2+b4+(a-b)(a3+b3)+(a+b)(a3-b3)
=--------------------------------------------
(a3-b3)(a3+b3)
a4+a2b2+b4+a4+ab3-a3b-b4+a4-ab3+a3b-b4
=-----------------------------------------------
(a6-b6)
3a4+a2b2-b4
=--------------
a6-b6
1 1 4
(ছ)------+-------+--------
x-2 x+2 x2-4
সমাধানঃ
1 1 4
------+-------+--------
x-2 x+2 x2-4
1 1 4
=------+-------+--------------
x-2 x+2 (x-2)(x+2)
(x+2)-(x-2)+4
=-------------------
(x-2)(x+2)
x+2-x+2+4
=----------------
x2-4
8
=---------
x2-4
1 1 4
(জ) ------ +-------+-------
x2-1 x4-1 x8-1
সমাধানঃ
1 1 4
------ +------+-------
x2-1 x4-1 x8-1
1 1
=------ +----------------
x2-1 (x2-1)(x2+1)
4
+---------------
(x4-1)(x4+1)
1 1
=------ +----------------
x2-1 (x2-1)(x2+1)
4
+---------------------
(x2-1)(x2+1)(x4+1)
(x2+1)(x4+1)+(x4+1)+4
=--------------------------
(x2-1)(x2+1)(x4+1)
x6+x4+x2+1+x4+1+4
=------------------------
(x4-1)(x4+1)
x6+2x4+x2+6
=----------------
x8-1
সূত্র- schoolmathbd