অষ্টম শ্রেণি - সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১১ তথ্য ও উপাত্ত

তথ্য ও উপাত্তঃ গড়, মধ্যক, প্রচুরক, সারণি, আয়তলেখ

১. নিচের কোনটি দ্বারা শ্রেণিব্যাপ্তি বোঝায়?

(ক) উপাত্ত সমূহের মধ্যে প্রথম এবং শেষ উপাত্তের ব্যবধান।

(খ) উপাত্ত সমূহের মধ্যে শেষ এবং প্রথম উপয়াত্তের সমষ্টি।

(গ) প্রত্যেক শ্রেণির বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম উপাত্তের সমষ্টি।

(ঘ) প্রতি শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম সংখ্যার ব্যবধান।

উত্তরঃ ঘ

২. একটি শ্রেণিতে যেসকল উপাত্ত থাকে তার নির্দেশক নিচের কনটি?

(ক) শ্রেণির গণসংখ্যা (খ) শ্রেণির মধ্যবিন্দু

(গ) শ্রেণিসীমা (ঘ) ক্রমযোজিত গণসংখ্যা

উত্তরঃ ক

৩. ৮,১২,১৬,১৭,২০ সংখ্যাগুলোর গড় কত?

(ক) ১০.৫ (খ) ১২.৫

(গ) ১৩.৬ (ঘ) ১৪.৬

উত্তরঃ ঘ

৪. ১০,১২,১৪,১৮,১৯,২৫ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

(ক) ১১.৫ (খ) ১৪.৬

(গ) ১৬ (ঘ) ১৮.৬

উত্তরঃ গ

৫. ৬; ১২; ৭; ১২; ১১; ১২; ৭;১১ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক কোনটি?

(ক) ১১ এবং ৭ (খ) ১১ এবং ১২

(গ) ৭ এবং ১২ (ঘ) ৬ এবং ৭

উত্তরঃ খ

নিচে তোমাদের শ্রেণির ৪০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলোঃ

শ্রেণিব্যাপ্তি	গণসংখ্যা
৪১-৫৫	৬
৫৬-৭০	১০
৭১-৮৫	২০
৮৬-১০০	৪

এই সারণির আলোকে (৬-৮) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

৬. উপাত্তগুলোর শ্রেণিব্যাপ্তি কোনটি?

(ক) ৫ (খ) ১০

(গ) ১২ (ঘ) ১৫

উত্তরঃ ঘ

৭. দ্বিতীয় শ্রেণির শ্রেণিমধ্যমান কোনটি?

(ক) ৪৮ (খ) ৬৩

(গ) ৭৮ (ঘ) ৯৩

উত্তরঃ খ

৮. প্রদত্ত সারণিতে প্রচুরক শ্রেণির নিন্মসীমা কোনটি?

(ক) ৪১ (খ) ৫৬

(গ) ৭১ (ঘ) ৮৬

উত্তরঃ গ

৯. ২৫ জন শিক্ষার্থীর (ছাত্র-ছাত্রীর) বার্ষিক পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর নিচে দেওয়া হলোঃ

৭২,৮৫,৭৮,৮৪,৭৮,৭৫,৬৯,৬৭,৮৮,৮০,৭৪,৭৭,৭৯,৬৯,৭৪,৭৩,৮৩,৬৫,৭৫,৬৯,৬৩,৭৫,৮৬,৬৬,৭১।

(ক) প্রাপ্ত নম্বরের সরাসরি গড় নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রাপ্ত নম্বরের সমষ্টি

=৭২+৮৫+৭৮+৮৪+৭৮+৭৫+৬৯+৬৭+৮৮+৮০+৭৪+৭৭+৭৯+৬৯+৭৪+৭৩+৮৩+৬৫+৭৫+৬৯+৬৩+৭৫+৮৬+৬৬+৭১=১৮৭৫

∴ প্রাপ্ত নম্বরের সরাসরি গড়=১৮৭৫÷২৫=৭৫

(খ) শ্রেণিব্যাপ্তি ৫ ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি কর এবং সারণি তথ্য থেকে গড় নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে, সর্বনিন্ম নম্বর=৬৩

এবং সর্বোচ্চ নম্বর=৮৮

∴পরিসর=(৮৮-৬৩)+১=২৫+১=২৬

এখানে, শ্রেণিব্যাপ্তি ৫

∴ শ্রেণিসংখ্যা=২৬/৫=৫.২≈৬

গণসংখ্যা নিবেশণ সারণি নিন্মরূপঃ

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যমান x_i	ট্যালি চিহ্ন	গনসংখ্যা f_i	x_if_i
৬৩-৬৭	৬৫	IIII	৪	২৬০
৬৮-৭২	৭০	IIII	৫	৩৫০
৭৩-৭৭	৭৫	IIII II	৭	৫২৫
৭৮-৮২	৮০	IIII	৪	৩২০
৮৩-৮৭	৮৫	IIII	৪	৩৪০
৮৮-৯২	৯০	I	১	৯০
			n=২৫	∑x_if_i=১৮৮৫

∴ গড়=∑x_if_i/n=১৮৮৫/২৫=৭৫.৪

(গ) সরাসারিভাবে প্রাপ্ত গড়ের সাথে পার্থক্য দেখাও।

সমাধানঃ

সারণি থেকে প্রাপ্ত গড়=৭৫.৪

সরাসরি থেকে প্রাপ্ত গড়=৭৫

-------------------------------------------------

দুই গড়ের মধ্যে পার্থক্য= ০.৪

১০. নিচে একটি সারণি দেওয়া হলো। এর গড়-মান নির্ণয় কর। উপাত্তগুলোর আয়ত-লেখ আঁকঃ

প্রাপ্ত নম্বর	গনসংখ্যা
৬-১০	৫
১১-১৫	১৭
১৬-২০	৩০
২১-২৫	৩৮
২৬-৩০	৩৫
৩১-৩৫	১০
৩৬-৪০	৭
৪১-৪৫	৩

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ের সারণি নিন্মরূপঃ

প্রাপ্ত নম্বর	শ্রেণি মধ্যমান x_i	গণসংখ্যা f_i	x_if_i
৬-১০	৮	৫	৪০
১১-১৫	১৩	১৭	২২১
১৬-২০	১৮	৩০	৫৪০
২১-২৫	২৩	৩৮	৮৭৪
২৬-৩০	২৮	৩৫	৯৮০
৩১-৩৫	৩৩	১০	৩৩০
৩৬-৪০	৩৮	৭	২৬৬
৪১-৪৫	৪৩	৩	১২৯
		n=১৪৫	∑x_if_i=৩৩৮০

∴ গড়=৩৩৮০/১৪৫=২৩.৩১ (প্রায়)

আয়তলেখ অঙ্কনঃ

আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারণিঃ

প্রাপ্ত নম্বর	অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা	গণসংখ্যা
৬-১০	৫.৫-১০.৫	৫
১১-১৫	১০.৫-১৫.৫	১৭
১৬-২০	১৫.৫-২০.৫	৩০
২১-২৫	২০.৫-৩০.৫	৩৮
২৬-৩০	২৫.৫-৩০.৫	৩৫
৩১-৩৫	৩০.৫-৩৫.৫	১০
৩৬-৪০	৩৫.৫-৪০.৫	৭
৪১-৪৫	৪০.৫-৪৫.৫	৩

ছক কাগজের x অক্ষ বরাবর প্রত্যেক ঘরকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমার ১ একক এবং y অক্ষ বরাবর প্রত্যেক ঘরকে গণসংখ্যার ১ একক ধরে নিচের আয়তলেখ আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে ৫.৫ পর্যন্ত ভাঙ্গা চিহ্ন দ্বারা আগের ঘরগুলো বিদ্যমান বোঝানো হয়ছে।

১১. নিচের সারণি থেকে গড় নির্ণয় করঃ

দৈণিক আয় (টাকায়)	গণসংখ্যা
২২১০	২
২২১৫	৩
২২২০	৫
২২২৫	৭
২২৩০	৬
২২৩৫	৫
২২৪০	৫
২২৪৫	৪
২২৫০	৩

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ের সারণি নিন্মরূপঃ

দৈনিক আয়	গনসংখ্যা f_i	x_if_i
২২১০	২	৪৪২০
২২১৫	৩	৬৬৪৫
২২২০	৫	১১১০০
২২২৫	৭	১৫৫৭৫
২২৩০	৬	১৩৩৮০
২২৩৫	৫	১১১৭৫
২২৪০	৫	১১২০০
২২৪৫	৪	৮৯৮০
২২৫০	৩	৬৭৫০
	n=৪০	∑x_if_i=৮৯২২৫

∴ গড়=৮৯২২৫/৪৫=২২৩০.৬২৫ টাকা।

১২. নিচে ৪০ জন গৃহীণির সপ্তাহিক সঞ্চয় এর টাকা দেওয়া হলোঃ

১৫৫;১৫৬;১৪৬;১৬২;১৭৩;১৬৬;১৪৩;১৬৮;১৬০;১৫৮;১৫৯;১৪৮;১৫০;১৪৭;১৩২;১৩৬;১৫৬;১৪০;১৫৫;১৪৫;১৩৫;১৫১;১৪১;১৬৯;১৪০;১২৫;১২২;১৪০;১৩৭;১৭৫;১৪৫;১৫০;১৬৪;১৪২;১৫৬;১৫২;১৪৬;১৪৮;১৫৭ এবং ১৬৭।

প্রতি সাপ্তাহের জমানোর গড়, মধ্যক এবং প্রচুরক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ঃ

গৃহীণির সপ্তাহিক সঞ্চয়ের যোগফল

=১৫৫+১৭৩+১৬৬+১৪৩+১৬৮+১৬০+১৫৬+১৪৬+১৬২+১৫৮+১৫৯+১৪৮+১৫০+১৪৭+১৩২+১৩৬+১৫৬+১৪০+১৫৫+১৪৫+১৩৫+১৫১+১৪১+১৬৯+১৪০+১২৫+১২২+১৪০+১৩৭+১৭৫+১৪৫+১৫০+১৬৪+১৪২+১৫৬+১৫২+১৪৬+১৪৮+১৫৭+১৬৭

=৬০১৭

গৃহীণির সংখ্যা=৪০

∴ গড়=৬০১৭/৪০=১৫০.৪৩ টাকা।

মধ্যক নির্ণয়ঃ

সংখ্যাগুলোকে মানের উর্ধবক্রমে সাজিয়ে পাই,

১২২,১২৫,১৩২,১৩৫,১৩৬,১৩৭,১৪০,১৪০,১৪০,১৪১,১৪২,১৪৩,১৪৫,১৪৫,১৪৬,১৪৬,১৪৭,১৪৮,১৪৮,১৫০,১৫০,১৫১,১৫২,১৫৫,১৫৬,১৫৬,১৫৬,১৫৭,১৫৮,১৫৯,১৬০,১৬২,১৬৪,১৬৬,১৬৭,১৬৮,১৬৯,১৭৩,১৭৫

এখানে, n=৪০, যা জোড় সংখ্যা।

n/2=৪০/২=২০

∴ মধ্যক

২০ তম ও ২১ তম পদ দুইটির যোগফল

= --------------------------------------------------

২

১৫০+১৫০

=----------------

২

৩০০

=-----------

২

=১৫০

প্রচুরক নির্ণয়ঃ

উপরের উর্ধবক্রমের সাজানো তথ্য হতে পাই, ১৪০ ও ১৫৬ সংখ্যা দুইটি সর্বাধিক ৩ বার আছে।

∴ নির্ণেয় প্রচুরক ১৪০ ও ১৫৬

১৩. নিচের উপাত্তসমূহের গড় এবং উপাত্তের আয়তলেখ আঁকঃ

বয়স (বছর)	গণসংখ্যা
৫-৬	২৫
৭-৮	২৭
৯-১০	২৮
১১-১২	৩১
১৩-১৪	২৯
১৫-১৬	২৮
১৭-১৮	২২

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ঃ

গড় নির্ণয়ের সারনি নিন্মরুপঃ

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যমান x_i	গনসংখ্যা f_i	f_ix_i
৫-৬	৫.৫	২৫	১৩৭.৫
৭-৮	৭.৫	২৭	২০২.৫
৯-১০	৯.৫	২৮	২৬৮
১১-১২	১১.৫	৩১	৩৫৬.৫
১৩-১৪	১৩.৫	২৯	৩৯১.৫
১৫-১৬	১৫.৫	২৮	৪৩৪
১৭-১৮	১৭.৫	২২	৩৮৫
		n=১৯০	∑x_if_i=২১৭৩

∴ গড়=২১৭৩/১৯০=১১.৪৪ বছর।

আয়তলেখ অঙ্কনঃ

আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারণিঃ

শ্রেণি ব্যাপ্তি	অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা	গনসংখ্যা
৫-৬	৪.৫-৬.৫	২৫
৭-৮	৬.৫-৮.৫	২৭
৯-১০	৮.৫-১০.৫	২৮
১১-১২	১০.৫-১২.৫	৩১
১৩-১৪	১২.৫-১৪.৫	২৯
১৫-১৬	১৪.৫-১৬.৫	২৮
১৭-১৮	১৬.৫-১৮.৫	২২

ছক কাগজের x অক্ষ বরাবর প্রত্যেক ঘরকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমার ১ একক এবং y অক্ষ বরাবর প্রত্যেক ঘরকে গণসংখ্যার ১ একক ধরে নিচের আয়তলেখ আঁকা হলো। মূলবিন্দু হেকে ৪.৫ পর্যন্ত ভাঙ্গা চিহ্ন দিয়ে আগের ঘরগুলো বিদ্যমান বোঝানো হয়ছে।

১৪. নিচে একটি কারখানার ১০০ জন শ্রমিকের মাসিক মজুরির গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। শ্রমিকদের মাসিক মজুরির গড় কত হবে? উপাত্তগুলোর আয়তলেখ আঁক।

মাসিক মজুরি (শত টাকায়)	গণসংখ্যা
৫১-৫৫	৬
৫৬-৬০	২০
৬১-৬৫	৩০
৬৬-৭০	১৫
৭১-৭৫	১১
৭৬-৮০	৮
৮১-৮৫	৬
৮৬-৯০	৪

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ঃ

গড় নির্ণয়ের সারণি নিন্মরুপঃ

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যমান x_i	গনসংখ্যা f_i	f_ix_i
৫১-৫৫	৫৩	৬	৩১৮
৫৬-৬০	৫৮	২০	১১৬০
৬১-৬৫	৬৩	৩০	১৮৯০
৬৬-৭০	৬৮	১৫	১০২০
৭১-৭৫	৭৩	১১	৮০৩
৭৬-৮০	৭৮	৮	৬২৪
৮১-৮৫	৮৩	৬	৪৯৮
৮৬-৯০	৮৮	৪	৩৫২
		n=১০০	∑x_if_i=৬৬৬৫

∴ গড়=৬৬৬৫/১০০=৬৬.৬৫ টাকা।

আয়তলেখ অঙ্কনঃ

আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারণিঃ

শ্রেণি ব্যাপ্তি	অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা	গণসংখ্যা
৫১-৫৫	৫০.৫-৫৫.৫	৬
৫৩-৬০	৫৫.৫-৬০.৫	২০
৬১-৬৫	৬০.৫-৬৫.৫	৩০
৬৬-৭০	৬৫.৫-৭০.৫	১৫
৭১-৭৫	৭০.৫-৭৫.৫	১১
৭৬-৮০	৭৫.৫-৮০.৫	৮
৮১-৮৫	৮.০.৫-৮৫.৫	৬
৮৬-৯০	৮৫.৫-৯০.৫	৪

ছক কাগজের x অক্ষ বরাবর প্রত্যেক ঘরকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমার ১ একক এবং y অক্ষ বরাবর প্রত্যেক ঘরকে গণসংখ্যার ১ একক ধরে নিচের আয়তলেখ আঁকা হলো। মূলবিন্দু হেকে ৫০.৫ পর্যন্ত ভাঙ্গা চিহ্ন দিয়ে আগের ঘরগুলো বিদ্যমান বোঝানো হয়ছে।

১৫. ৮ম শ্রেণির ৩০ জন শিক্ষার্থীর ইংরেজি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর হলোঃ

৪৫,৪২,৬০,৬১,৫৮,৫৩,৪৮,৫২,৫১,৪৯,৭৩,৫২,৫৭,৭১,৬৪,৪৯,৫৬,৪৮,৬৭,৬৩,৭০,৫৯,৫৪,৪৬,৪৩,৫৬,৫৯,৪৩,৬৮,৫২।

(ক) শ্রেণিব্যবধান ৫ ধরে শ্রেণিসংখ্যা কত?

সমাধানঃ

এখানে, সর্বনিন্ম নম্বর=৪২

এবং, সর্বোচ্চ নম্বর=৭৩

পরিসর=(৭৩-৪২)+১=৩১+১=৩২

শ্রেণিসংখ্যা=৩২/৫=৬.৫≈৭

সুতরাং, শ্রেণি সংখ্যা=৭

(খ) শ্রেণিব্যবধান ৫ ধরে গনসংখ্যা নিবেশণ সারণি তৈরি কর।

সমাধানঃ

শ্রেণিব্যাপ্তি ৫ নিয়ে গনসংখ্যা নিবেশন সারণি নিন্মরুপঃ

শ্রেণিব্যাপ্তি	ট্যালি চিহ্ন	গণসংখ্যা
৪২-৪৬	IIII	৫
৪৭-৫১	IIII	৫
৫২-৫৬	IIII II	৭
৫৭-৬১	IIII I	৬
৬২-৬৬	II	২
৬৭-৭১	IIII	৪
৭২-৭৬	I	১
		n=৩০

(গ) সারণি থেকে গড় নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ের সারণি নিন্মরুপঃ

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যমান x_i	গণসংখ্যা f_i	f_ix_i
৪২-৪৬	৪৪	৫	২২০
৪৭-৫১	৪৯	৫	২৪৫
৫২-৫৬	৫৪	৭	৩৭৮
৫৭-৬১	৫৯	৬	৩৫৪
৬২-৬৬	৬৪	২	১২৮
৬৭-৭১	৬৯	৪	২৭৫
৭২-৭৬	৭৪	১	৭৪
		n=৩০	∑x_if_i=১৬৭৫

∴ গড়=১৬৭৫/৩০=৫৫.৮৩ (প্রায়)

১৬. ৫০ জন শিক্ষার্থীর দৈনিক সঞ্চয় নিচে দেওয়া হলোঃ

সঞ্চয় (টাকায়)	গণসংখ্যা
৪১-৫০	৬
৫১-৬০	৮
৬১-৭০	১৩
৭১-৮০	১০
৮১-৯০	৮
৯১-১০০	৫

(ক) ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি কর।

সমাধানঃ

ক্রমযোজিত গণসংখ্যার সারণি নিন্মরুপঃ

সঞ্চয় (টাকায়)	গণসংখ্যা	ক্রমোযোজিত গণসংখ্যা
৪১-৫০	৬	৬
৫১-৬০	৮	১৪
৬১-৭০	১৩	২৭
৭১-৮০	১০	৩৭
৮১-৯০	৮	৪৫
৯১-১০০	৫	৫০

(খ) সারণি থেকে গড় নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ের সারণি নিন্মরুপঃ

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যমান x_i	গণসংখ্যা f_i	f_ix_i
৪১-৫০	৪৫.৫	৬	২৭৩
৫১-৬০	৫৫.৫	৮	৪৪৪
৬১-৭০	৬৫.৫	১৩	৮৫১.৫
৭১-৮০	৭৫.৫	১০	৭৫৫
৮১-৯০	৮৫.৫	৮	৬৮৪
৯১-১০০	৯৫.৫	৫	৪৭৭.৫
		n=৫০	∑x_if_i=৩৪৮৫

∴ গড়=৩৪৮৫/৫০=৬৯.৭

১৭. নিচের সারণিতে ২০০ জন শিক্ষার্থীর প্ছন্দের ফল দেখানো হলো। প্রদত্ত উপাত্তের পাইচিত্র আঁক।

ফল	শিক্ষার্থীর সংখ্যা
আম	৭০
কাঁঠাল	৩০
লিচু	৮০
জামরুল	২০

সমাধানঃ

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্রে সৃষ্ট কোণ ৩৬০^০

মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা=২০০ জন।

∴ পাই চিত্রের ক্ষেত্রে,

২০০ জন শিক্ষার্থীর জন্য কোণ ৩৬০^০

১ জন শিক্ষার্থীর জন্য কোণ ৩৬০^০/২০০=১.৮^০

৭০ জন শিক্ষার্থীর জন্য কোণ ১.৮^০✕৭০=১২৬^০

৩০ জন শিক্ষার্থীর জন্য কোণ ১.৮^০✕৩০=৫৪^০

৮০ জন শিক্ষার্থীর জন্য কোণ ১.৮^০✕৮০=১৪৪^০

২০ জন শিক্ষার্থীর জন্য কোণ ১.৮^০✕২০=৩৬^০

নিচে আমের জন্য ১২৬^০, কাঁঠালের জন্য ৫৪^০, লিচুর জন্য ১৪৪^০, জামরুলের জন্য ৩৬^০ কোণ দ্বারা পাই চিত্র দেখানো হলোঃ

১৮. ৭২০ জন শিক্ষার্থীর পছন্দের বিষয় পাইচিত্রে উপাস্থাপন করা হলো। সংখ্যায় প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্রে সৃষ্ট কোণ ৩৬০^০

∴ শিক্ষার্থীর সংখ্যা

নির্ধারিত কোণ✕মোট শিক্ষার্থী

=------------------------------------

৩৬০^০

বাংলা পছন্দকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা

৯০^০✕৭২০

=-------------- জন

৩৬০^০

=১৮০ জন।

ইংরেজি পছন্দকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা

৩০^০✕৭২০

=-------------- জন

৩৬০^০

=৬০ জন।

গণিত পছন্দকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা

৫০^০✕৭২০

=-------------- জন

৩৬০^০

=১০০ জন।

বিজ্ঞান পছন্দকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা

৬০^০✕৭২০

=-------------- জন

৩৬০^০

=১২০ জন।

ধর্ম পছন্দকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা

৮০^০✕৭২০

=-------------- জন

৩৬০^০

=১৬০ জন।

এবং সংগীত পছন্দকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা

৫০^০✕৭২০

=-------------- জন

৩৬০^০

=১০০ জন।

১৯. ৬০ জন ছাত্রীর গণিতের নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেয়া হলোঃ

প্রাপ্ত নম্বর	গণসংখ্যা
৬০	৫
৬৫	৮
৭০	১১
৭৫	১৫
৮০	৮
৮৫	৩

(ক) মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মধ্যক নির্ণয়ের সারণিঃ

প্রাপ্ত নম্বর	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিত গনসংখ্যা
৬০	৫	৫
৬৫	৮	১৩
৭০	১১	২৪
৭৫	১৫	৩৯
৮০	৮	৪৭
৮৫	৩	৫০
	n=৫০

এখানে, n=৫০ যা জোড় সংখ্যা।

n/2=৫০/২=২৫

∴ মধ্যক

২৫ তম পদ+২৬ তম পদ

=---------------------------------

২

৭৫+৭৫

=----------------

২

১৫০

=-------------

২

=৭৫

(খ) গড় নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ের সারণিঃ

প্রাপ্ত নম্বর x_i	গণসংখ্যা f_i	f_ix_i
৬০	৫	৩০০
৬৫	৮	৫২০
৭০	১১	৭৭০
৭৫	১৫	১১২৫
৮০	৮	৬৪০
৮৫	৩	২৫৫
	n=৫০	∑x_if_i=৩৬১০

∴ গড়=৩৬১০/৫০=৭২.২

(গ) প্রদত্ত উপাত্তের পাইচিত্র আঁক।

সমাধানঃ

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রে সৃষ্ট কোণ ৩৬০^০

এখানে, মোট গণসংখ্যা=৫০

পাইচিত্রের ক্ষেত্রে,

৫০ জন ছাত্রীর জন্য কোণ ৩৬০^০

∴ ১ জন ছাত্রীর জন্য কোণ ৩৬০^০/৫০=৭.২^০

∴ ৫ জন ছাত্রীর জন্য কোণ ৭.২^০*৫=৩৬^০

৮ জন ছাত্রীর জন্য কোণ ৭.২^০*৮=৫৭.৬^০

১১ জন ছাত্রীর জন্য কোণ ৭.২^০*১১=৭৯.২^০

১৫ জন ছাত্রীর জন্য কোণ ৭.২^০*১৫=১০৮^০

৮ জন ছাত্রীর জন্য কোণ ৭.২^০*৮=৫৭.৬^০

৩ জন ছাত্রীর জন্য কোণ ৭.২^০*৩=২১.৬^০

৫,৮,১১,১৫,৮,৩ জন ছাত্রীর জন্য প্রাপ্ত কোণগুলো পাইচিত্রে প্রদর্শন করা হলোঃ

২০. নিচের একটি সারণি দেওয়া হলো-

শ্রেণিব্যাপ্তি	গনসংখ্যা
২০-২৯	১০
৩০-৩৯	৬
৪০-৪৯	১৮
৫০-৫৯	১২
৬০-৬৯	৮

ক. ৭,৫,৪,৯,৩,৮ উপাত্তগুলোর মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধবক্রমে সাজিয়ে পাই,

৩,৪,৫,৭,৮,৯

এখানে, n=৬ যা জোড় সংখ্যা

n/2=৬/২=৩

∴ মধ্যক

৩ তম পদ + ৪ তম পদ

=--------------------------------

২

৫+৭

=-----------

২

১২

=---------

২

=৬

খ. প্রদত্ত সারণি থেকে গড় নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ের সারণিঃ

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যমান x_i	গণ সংখ্যা f_i	f_ix_i
২০-২৯	২৪.৫	১০	২৪৫
৩০-৩৯	৩৪.৫	৬	২০৭
৪০-৪৯	৪৪.৫	১৮	৮০৯
৫০-৫৯	৫৪.৫	১২	৬৫৪
৬০-৬৯	৬৪.৫	৮	৫১৬
		n=৫৪	∑x_if_i=২৪২৩

∴ গড়=২৪২৩/৫৪=৪৪.৮৭ (প্রায়)

গ. উপাত্তগুলোর আয়তলেখ আঁক।

সমাধানঃ

আয়তলেখ অঙ্কনঃ

আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় সারনিঃ

শ্রেণিব্যাপ্তি	অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা	গণসংখ্যা
২০-২৯	১৯.৫-২৯.৫	১০
৩০-৩৯	২৯.৫-৩৯.৫	৬
৪০-৪৯	৩৯.৫-৪৯.৫	১৮
৫০-৫৯	৪৯.৫-৫৯.৫	১২
৬০-৬৯	৫৯.৫-৬৯.৫	৮

ছক কাগজে x অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমার ১ একক এবং y অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে গণসংখ্যার ১ একক ধরে আয়তলেখ আঁকা হলো। মূলবিন্দু হেকে ১৯.৫ পর্যন্ত ভাঙ্গা চিহ্ন দিয়ে আগের ঘরগুলো বিদ্যমান বোঝানো হয়ছে।

২১. নিচে ৪০ জন গৃহিনীর সাপ্তাহিক সঞ্চয় (টাকায়) নিচে দেওয়া হলোঃ

১৫৫,১৭৩,১৬৬,১৪৩,১৬৮,১৬০,১৫৬,১৪৬,১৬২,১৫৮,১৫৯,১৪৮,১৫০,১৪৭,১৩২,১৩৬,১৫৪,১৪০,১৫৫,১৪৫,১৩৫,১৫১,১৪১,১৬৯,১৪০,১২৫,১২২,১৪০,১৩৭,১৭৫,১৪৫,১৫০,১৬৪,১৪২,১৫৬,১৫২,১৪৬,১৪৮,১৫৭,১৬৭।

ক. উপাত্তগুলো মানের উর্ধবক্রমে সাজাও।

সমাধানঃ

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধবক্রমে সাজালে পাই,

১২২,১২৫,১৩২,১৩৫,১৩৬,১৩৭,১৪০,১৪০,১৪০,১৪১,১৪২,১৪৩,১৪৫,১৪৫,১৪৬,১৪৬,১৪৭,১৪৮,১৪৮,১৫০,১৫০,১৫১,১৫২,১৫৪,১৫৫,১৫৫,১৫৬,১৫৬,১৫৭,১৫৮,১৫৯,১৬০,১৬২,১৬৪,১৬৬,১৬৭,১৬৮,১৬৯,১৭৩,১৭৫।

খ. মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মধ্যক নির্ণয়ঃ

এখানে, n=৪০ যা জোড় সংখ্যা।

n/2=৪০/২=২০

∴ মধ্যক

২০ তম পদ+২১তম পদ

=---------------------------------

২

১৫০+১৫০

=--------------------

২

৩০০

=-----------

২

=১৫০

প্রচুরক নির্ণয়ঃ

উপরিউক্ত উর্ধবক্রমে সাজানো তথ্য থেকে দেখা যায় যে, ১৪০ সংখ্যাটি সর্বাধিক ৩ বার আছে।

∴ প্রচুরক=১৪০

গ. শ্রেণি ব্যবধান ৫ ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করে গড় নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে, সর্বোচ্চ সংখ্যা=১৭৫

এবং সর্বনিন্ম সংখ্যা=১২২

∴পরিসর=(১৭৫-১২২)+১=৫৪

∴শ্রেণি সংখ্যা=৫৪/৫=১০.৮≈১১

শ্রেণি ব্যবধান ৫ ধরে গর নির্ণয়ের সারণি নিন্মরূপঃ

শ্রেণি ব্যাপ্তি	শ্রেণি মধ্যমান x_i	ট্যালি	গনসংখ্যা f_i	f_ix_i
১২১-১২৫	১২৩	II	২	২৪৬
১২৬-১৩০	১২৮		০	০
১৩১-১৩৫	১৩৩	II	২	২৬৬
১৩৬-১৪০	১৩৮	IIII	৫	৬৯০
১৪১-১৪৫	১৪৩	IIII	৫	৭১৫
১৪৬-১৫০	১৪৮	IIII II	৭	১০৩৬
১৫১-১৫৫	১৫৩	IIII	৫	৭৬৫
১৫৬-১৬০	১৫৮	IIII I	৬	৯৪৮
১৬১-১৬৫	১৬৩	II	২	৩২৬
১৬৬-১৭০	১৬৮	IIII	৪	৬৭২
১৭১-১৭৫	১৭৩	II	২	৩৪৬
			n=৪০	∑x_if_i=৬০১০