নবম-দশম শ্রেণি - সাধারণ গণিত - দ্বিতীয় অধ্যায় - সেট ও ফাংশন (অনুশীলনী ২.২)
২. সেট C হতে সেট B এ একটি সম্পর্ক R হলে নিচের কোনটি সঠিক?
৩. A={1,2}, B={2,5} হলে, P(A∩B)এর সদস্য সংখ্যা নিচের কোনটি?
(ক) i (খ) ii (গ) i ও ii (ঘ) i, ii ও iii উত্তরঃ ঘ
(ক) i ও ii (খ) i ও iii (গ) ii ও iii (ঘ) i, ii ও iii উত্তরঃ ঘ
প্রশ্নমতে, অন্বয় R={(x,y):x∈A, y∈B এবং x>y}
এখন,
A✕B={3,4}✕{2,4}
={(3,2),(3,4),(4,2),(4,4)}
∴R={(3,2),(4,2)}
∴নির্ণেয় অন্বয়={(3,2),(4,2)}
প্রশ্নমতে, অন্বয় R={(x,y):x∈C, y∈D এবং x+1<y}
এখন,
C✕D={2,5}✕{4,6}
={(2,4),(2,6),(5,4),(5,6)}
∴R={(2,4),(2,6)}
∴নির্ণেয় অন্বয়={(2,4),(2,6)}
∴f(-1)= (-1)4+5✕(-1)-3=1-5-3=-7;
(f(2)= 24+5✕2-3=16+10-3=23
এবং, f(1/2)= (1/2)4+5✕(1/2)-3=1/16+5/2-3=(1+40-48)/16=-7/16
∴f(-2)= (-2)3+k(-2)2-4✕(-2)-8=-8+4k+8-8=-8+4k
প্রশ্নমতে, f(-2)=0 হবে
তাহলে, -8+4k=0
বা, -8=-4k
বা, 4k=8
বা, k=8/4
বা, k=2
∴k এর নির্ণেয় মান 2
দেওয়া আছে, f(x)=x3-6x2+11x-6
প্রশ্নমতে, f(x)=0 হবে
তাহলে, x3-6x2+11x-6=0
বা, x3-x2-5x2+5x+6x-6=0
বা, x2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=0
বা, (x2-5x+6)(x-1)=0
বা, (x-1){x2-3x-2x+6)}=0
বা, (x-1){x(x-3)-2(x-3)}=0
বা, (x-1)(x-3)(x-2)=0
বা, x-1=0; x-3=0; x-2=0
বা, x=1, x=3, x=2
∴x এর নির্ণেয় মান 1,2 বা 3.
সমাধানঃ |
|||||||||||
দেওয়া আছে, |
|||||||||||
f(x) = |
2x+1 ------- 2x-1 |
||||||||||
∴f(1/x2) = |
2.(1/x2)+1 ---------------- 2.(1/x2)-1 |
||||||||||
= |
2/x2+1 ----------- 2/x2-1 |
||||||||||
= |
2+x2 ---------- x2 ----------- 2-x2 ---------- x2 |
||||||||||
= |
2+x2 ------ x2 |
✕ |
x2 --------- 2-x2 |
||||||||
= |
2+x2 --------- 2-x2 |
||||||||||
f(1/x2)+1= |
2+x2 ------------ 2-x2 |
+ |
1 |
||||||||
= |
2+x2+2-x2 ---------------- 2-x2 |
||||||||||
= |
4 ---------- 2-x2 |
||||||||||
f(1/x2)-1= |
2+x2 -------- 2-x2 |
- |
1 |
||||||||
= |
2+x2-2+x2 ------------- 2-x2 |
||||||||||
= |
2x2 ------------- 2-x2 |
||||||||||
∴{f(1/x2)+1}/{f(1/x2)-1}= |
|||||||||||
|
4 ------ 2-x2 |
/ |
2x2 --------- 2-x2 |
||||||||
= |
4 ------ 2-x2 |
✕ |
2-x2 ------- 2x2 |
||||||||
= |
2 ----- x2 |
||||||||||
সমাধানঃ |
|||
দেওয়া আছে, |
|||
g(x) |
= |
1+x2+x4 ----------- x2 |
|
∴g(1/x2) |
= |
1+(1/x2)2+(1/x2)4 ---------------- (1/x2)2 |
|
= |
1+1/x4+1/x8 ---------------- 1/x4 |
||
= |
x8+x4+1 ---------- x8 ------------ 1 ------------ x4 |
||
= |
(x8+x4+1)✕x4 ------------------ x8 |
||
= |
x8+x4+1 ----------- x4 |
||
g(x2) |
= |
1+(x2)2+(x2)2 ----------------- (x2)2 |
|
= |
1+x4+x8 ------------ x4 |
||
∴g(1/x2) |
= |
g(x2) (দেখানো হলো) |
∴ডোমেন R={2}
রেঞ্জ R{1,2,3}
∴ডোমেন R={-2,-1,0,1,2}
রেঞ্জ R{0,1,4}
∴ডোমেন R={1/2,1,5/2}
রেঞ্জ R{-2,-1,0,1,2}
প্রদত্ত শর্ত হতে, x+y=1 বা, y=1-x
এখন, x∈A এর জন্য, y=1-x এর মান নির্ণয় করিঃ
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
R={(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
∴ডোমেন R={-1,0,1,2}
রেঞ্জ R={-1,0,1,2}
প্রদত্ত শর্ত হতে, y=2x
এখন, x∈C এর জন্য, y=2x এর মান নির্ণয় করিঃ
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
F={(0,0),(1,2)}
∴ডোমেন F={0,1}
রেঞ্জ F={0,2}
অনুরুপভাবে, (0,-5), (1/2, -5/6) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি।
(0,-5) y O OY’ 5 (0,-5)
(1/2,-5/6) O OX OY’ (1/2,-5/6)
B={x:x∈N এবং 3<x<6}
C={x:x∈N এবং x2>5 এবং x3<130}
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={1,2,3,4,5……..}
∴ তাহলে, 2 হেকে 7 পর্যন্ত বিজোর সংখ্যাসমূহ 3,5,7
A={3,5,7}
A={3,5,7}
B={5}
C={3,5}
এখন,
A∩C={3,5,7}∩{3,5}={3,5}
∴P(A∩C)={{3,5},{3},{5},∅}
∴B✕C={5}✕{3,5}={(5,3),(5,5)}
∴নির্ণেয় সেট, B=A={x:x∈N এবং 2≤x≤7}
A={1,2,3,4}, B={2,3,5,7}, C={3,4,5,6}
∴B∩C={2,3,5,7}∩{3,4,5,6}={3,5}
বামপক্ষ=A∪(B∩C)= {1,2,3,4}∪{3,5}={1,2,3,4,5}
আবার,
A∪B={1,2,3,4}∪{2,3,5,7}={1,2,3,4,5,7}
A∪C={1,2,3,4}∪{3,4,5,6}={1,2,3,5,6}
∴ ডানপক্ষ=(A∪B)∩(A∪C)= {1,2,3,4,5,7}∩{1,2,3,5,6}={1,2,3,4,5}
∴ বামপক্ষ=ডানপক্ষ (সত্যতা যাচাই হলো)
গ) S=(B∪C)C✕A হলে, ডোম S নির্ণয় কর।
U={1,2,3,4,5,6,7,8}
A={1,2,3,4}, B={2,3,5,7}, C={3,4,5,6}
এখন, BUC={2,3,5,7}U{3,4,5,6}={2,3,4,5,6,7}
∴ (B∪C)C=U-(B∪C)={1,2,3,4,5,6,7,8}-{2,3,4,5,6,7}={1,8}
∴S=(B∪C)C✕A={1,8}✕{1,2,3,4}={1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(8,1),(8,2),(8,3),(8,4)}
S অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদান 1,8
∴ডোম S={1,8}